Question

圓心在曲線上，且與直線2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)圓心在曲線上，設(shè)出圓心的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓與直線2x+y+1=0相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，要使圓的面積最小即為圓的半徑最小，利用點到直線的距離公式表示出設(shè)出的圓心到已知直線的距離d，利用基本不等式求出d的最小值及此時a的值，進(jìn)而得到此時的圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的方程即可．
解答：解：由圓心在曲線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，）a＞0，
又圓與直線2x+y+1=0相切，所以圓心到直線的距離d=圓的半徑r，
由a＞0得到：d=≥=，當(dāng)且僅當(dāng)2a=即a=1時取等號，
所以圓心坐標(biāo)為（1，2），圓的半徑的最小值為，
則所求圓的方程為：（x-1）²+（y-2）²=5．
故答案為：（x-1）²+（y-2）²=5
點評：此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時滿足的關(guān)系，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題．