Question

水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間（單位：月），以年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為v（t）=．
（1）若該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期，以i-1＜t≤i表示第i月份（i=1，2，…12），問一年內那幾個月份是枯水期？
（2）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e³=20計算）．

Answer 1

解：（1）當0＜t≤9時，v（t）=（-t²+15t-51）e^t+50＜50，
即t²-15t+51＞0，
解得t＞或t＜，
從而0＜t＜≈5.2．
當9＜t≤12時，v（t）=4（t-9）（3t-41）+50＜50，
即（t-9）（3t-41）＜0，
解得9＜t＜，所以9＜t≤12．
綜上，0＜t＜5.2或9＜t≤12，枯水期為1，2，3，4，5，10，11，12月．
（2）由（1）知，水庫的最大蓄水量只能在6～9月份．
v′（t）=（-t²+13t-36）e^t=-e^t（t-1）（t-9），
令v′（t）=0，解得t=9或t=4（舍去），
又當t∈（6，9）時，v′（t）＞0；當t∈（9，10）時，v′（t）＜0．
所以，當t=9時，v（t）的最大值v（9）=×3×e⁹+50=150（億立方米），
故一年內該水庫的最大蓄水量是150億立方米．
分析：（1）對t分段討論，分別令v（t）＜0，解不等式求出t的范圍即得到枯水期對應的月份．
（2）據（1）判斷出最大值所在的可能月份，求出v（t）的導數，求出導函數大于0和小于0的t的范圍即函數的單調區(qū)間，求出最值．
點評：解決分段函數的有關問題，有關分段研究，再將求出的結果求并集；解決實際問題，要注意最后將數學問題還原到實際問題．