Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）在側(cè)棱AA₁上是否存在點P，使得CP⊥面BDC₁？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

證明：（I）連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD
∵BCC₁B₁是矩形，
∴O是B₁C的中點．
又D是AC的中點，
∴OD∥AB₁．（2分）
∵AB1?面BDC₁，OD?面BDC₁，
∴AB₁∥面BDC₁．（4分）
解：（II）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則
C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）（5分）
設(shè)=（x，y，z）是面BDC₁的一個法向量，則

即，令x=1
則=（1，，）．（6分）
易知=（0，3，0）是面ABC的一個法向量．
∴cos＜，＞=．（8分）
∴二面角C₁-BD-C的余弦值為．（9分）
（III）假設(shè)側(cè)棱AA₁上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁．
則，即
∴方程組無解．∴假設(shè)不成立．
∴側(cè)棱AA₁上不存在點P，使CP⊥面BDC₁．（14分）
分析：（I）連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD，我們由三角形的中位線定理，易得OD∥AB₁，進而由線面平行的判定定理得到AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面C₁BD和平面BDC的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱AA₁上存在點P，使得CP⊥面BDC₁，我們可以設(shè)出P點坐標(biāo)，進而構(gòu)造方程組，若方程組有解說明存在，若方程組無解，說明滿足條件的P點不存在．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得OD∥AB₁，（II）（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題和線面垂直問題轉(zhuǎn)化為空間向量夾角問題．