Question

設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的軸和它的準(zhǔn)線交于E點(diǎn)，經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)（直線PQ與拋物線的對稱軸不垂直），則∠FEP與∠QEF的大小關(guān)系為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)EP和EQ的斜率分別為k₁，k₂，求出k₁+k₂=0，可得EP和EQ所在的直線關(guān)于x軸對稱，進(jìn)而可得∠FEP=∠QEF．

解答： 解：拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（

p

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，
則E點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

p

2

，0），
設(shè)直線PQ的方程為x=my+

p

2

，P，Q的坐標(biāo)分別為（

y12

2p

，y₁），（

y22

2p

，y₂）
由

y2=2px x=my+ p 2

得：y²-2pmy-p²=0，
∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
設(shè)EP和EQ的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁+k₂=

y1

y12 2p + p 2

+

y2

y22 2p + p 2

=

2p(p2+y1•y2)(y1+y2)

(y1y2)2+p[(y1+y2)2-2y1•y2]+p2

=0，
∴EP和EQ所在的直線關(guān)于x軸對稱，
∴∠FEP=∠QEF，
故答案為：∠FEP=∠QEF

點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，綜合性強(qiáng)．