Question

各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，；
（1）求a_n；
（2）令，，求{c_n}的前n項和T_n；
（3）令（λ、q為常數，q＞0且q≠1），c_n=3+n+（b₁+b₂+…+b_n），是否存在實數對（λ、q），使得數列{c_n}成等比數列？若存在，求出實數對（λ、q）及數列{c_n}的通項公式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由此可知a_n=2n（n∈N^*）．
（2）由題意知c₁=b₆=b₃=a₃=6，c₂=b₈=b₄=b₂=b₁=a₁=2，所以，由此可知．
（3）由題設條件知得，由此可以推導出存在，．
解答：解：（1），
∵a₁＞0，∴a₁=2；
當n≥2時，，
，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，∴{a_n}為等差數列，（2分）
∴a_n=2n（n∈N^*）；（4分）
（2）c₁=b₆=b₃=a₃=6，c₂=b₈=b₄=b₂=b₁=a₁=2，（6分）
n≥3時，，（8分）
此時，T_n=8+（2²+2）+（2³+2）+（2^n-1+2）=2ⁿ+2n；
∴；（10分）
（3），
令，（14分）
∴存在，．（16分）
點評：本題考查數列性質的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．