對于在[a,b]上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x),如果對任意的x∈[a,b],均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在[a,b]上是接近的,否則稱f(x)與g(x)在[a,b]上是非接近的.現(xiàn)在有兩個函數(shù)f(x)=logt(x-3t)與g(x)=logt)(t>0且t≠1),現(xiàn)給定區(qū)間[t+2,t+3].
(1)若t=,判斷f(x)與g(x)是否在給定區(qū)間上接近;
(2)若f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上都有意義,求t的取值范圍;
(3)討論f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是否是接近的.
【答案】分析:(1)當時,f(x)-g(x)=logt[(x-)(x-)]=考查函數(shù)h(x)=
上的值域,即可
(2)由題意知,t>0且t≠1,t+2-3t>0,t+2-t>0可求
(3)利用反證法:假設(shè)f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是接近的,由|f(x)-g(x)|=|logt(x2-4tx+3t2)|≤1可得-1≤logt(x2-4tx+3t2)≤1,考查函數(shù)G(x)=logt(x2-4tx+3t2在[t+2,t+3]上的單調(diào)性,從而可求G(x)max=logt(4-4t),G(x)min=logt(9-6t),則有0<t<1logt(4-4t)≤1logt(9-6t)≥-1,可求
解答:解:(1)當時,f(x)-g(x)=logt[(x-)(x-)]=
令h(x)=
時,h(x)∈[log6,-1]
即|f(x)-g(x)|≥1,
f(x)與g(x)是否在給定區(qū)間上是非接近的
(2)由題意知,t>0且t≠1,t+2-3t>0,t+2-t>0
∴0<t<1                                                
(3)∵|f(x)-g(x)|=|logt(x2-4tx+3t2)|
假設(shè)f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是接近的,
則有|logt(x2-4tx+3t2)|≤1∴-1≤logt(x2-4tx+3t2)≤1    
令G(x)=logt(x2-4tx+3t2),當∴0<t<1時,[t+2,t+3]在x=2t的右側(cè),
即G(x)=logt(x2-4tx+3t2),在[t+2,t+3]上為減函數(shù),
∴G(x)max=logt(4-4t),
∴G(x)min=logt(9-6t)
所以由(*)式可得{0<t<1logt(4-4t)≤1logt(9-6t)≥-1,解得
0<t≤
因此,當0<t≤時,f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是接近的;當t>時,
f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是非接近的.…(14分)
點評:本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用
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1
x-t
)(t>0且t≠1),現(xiàn)給定區(qū)間[t+2,t+3].
(1)若t=
1
2
,判斷f(x)與g(x)是否在給定區(qū)間上接近;
(2)若f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上都有意義,求t的取值范圍;
(3)討論f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是否是接近的.

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(1)若t=數(shù)學公式,判斷f(x)與g(x)是否在給定區(qū)間上接近;
(2)若f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上都有意義,求t的取值范圍;
(3)討論f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是否是接近的.

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1
x-t
)(t>0且t≠1),現(xiàn)給定區(qū)間[t+2,t+3].
(1)若t=
1
2
,判斷f(x)與g(x)是否在給定區(qū)間上接近;
(2)若f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上都有意義,求t的取值范圍;
(3)討論f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是否是接近的.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖北省武漢市部分重點中學高一(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

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(1)若t=,判斷f(x)與g(x)是否在給定區(qū)間上接近;
(2)若f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上都有意義,求t的取值范圍;
(3)討論f(x)與g(x)在給定區(qū)間[t+2,t+3]上是否是接近的.

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