Question

已知集合，A={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}，集合B={x|-1≤x≤0}，若a，b∈N，則A∩B≠∅的概率為

7

9

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析a、b可得（a，b）的情況，令函數(shù)f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得其最小值，要使A∩B≠∅，只須-a+

b

2

-1＜0，分析可得（a，b）能取的情況數(shù)，進(jìn)而由幾何概型的意義可得答案；

解答：解：（1）因?yàn)閍，b∈N，且0≤a≤2，1≤b≤3，
（a，b）可�。�0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），
（2，1），（2，2），（2，3）共9組．
令函數(shù)f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，則f′（x）=a+bln2•2^x．
因?yàn)閍∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f'（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是單調(diào)增函數(shù)．
f（x）在[-1，0]上的最小值為-a+

b

2

-1．
要使A∩B≠∅，只須-a+

b

2

-1＜0，即2a-b+2＞0．
所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7組．
所以A∩B≠∅的概率為

7

9

．
故答案為：

7

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查幾何概型的意義與幾何概型的計(jì)算，解題時(shí)注意a、b的范圍，考查計(jì)算能力．