【題目】如圖,多面體中,是正方形,,,且,、分別為棱的中點.

(1)求證:平面

(2)求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析,(2)

【解析】

1)首先根據(jù)已知條件易證平面,從而得到,又根據(jù)得到平面,根據(jù)中位線得到,得到平面,根據(jù),中點,得到,再根據(jù)線面垂直的判定即可證明平面.

2)以為原點,,,分別為,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,再代入二面角公式計算即可.

(1)因為,

所以,即.

平面.

又因為平面,所以.

因為四邊形是正方形,所以.

平面.

因為,四邊形是正方形,所以.

又因為分別為棱、的中點,所以.

所以平面.

又因為平面,所以.

因為,中點,所以.

平面.

(2)以為原點,,分別為,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示:

,,,

所以

平面的一個法向量為,

,得,令,則.

由(1)可知平面

所以平面的一個法向量為,

設(shè)平面和平面所成銳二面角為

所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為

練習(xí)冊系列答案
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(1) 求數(shù)列 {},{}的通項公式;

(2) 是否存在常數(shù) t,使得 {Sn+ } 為等比數(shù)列?說明理由;

(3) 設(shè) cn =,對于任意給定的正整數(shù) k(k ≥2), 是否存在正整數(shù) l,m(k < l < m), 使得 ck,c1,cm 成等差數(shù)列?若存在,求出 l,m(用 k 表示),若不存在,說明理由.

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質(zhì)量指標(biāo)值

[1520

[2025

[25,30

[30,35

[3540

[40,45]

等級

次品

二等品

一等品

二等品

三等品

次品

根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組,統(tǒng)計得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布表(如下面表,其中a0).

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

[15,20

2

[20,25

18

[25,30

48

[30,35

14

[35,40

16

[40,45]

2

合計

100

(Ⅰ)現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,試估計該件產(chǎn)品為次品的概率;

(Ⅱ)為守法經(jīng)營、提高利潤,乙企業(yè)開展次品生產(chǎn)原因調(diào)查活動.已知乙企業(yè)從樣本里的次品中隨機抽取了兩件進行分析,求這兩件次品中恰有一件指標(biāo)值屬于[4045]的產(chǎn)品的概率;

(Ⅲ)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),請自定標(biāo)準(zhǔn),對甲、乙兩企業(yè)食品質(zhì)量的優(yōu)劣情況進行比較.

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