函數(shù).
(I)函數(shù)在點處的切線與直線垂直,求a的值;
(II)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(III)不等式在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(I)(II)當時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單調(diào)遞增(III).
【解析】
試題分析:(I)求導,利用導數(shù)的幾何意義與兩直線垂直的判定進行求解;(II)求導,討論二次方程的根的個數(shù)、根的大小關系,進而判定其單調(diào)性;(III)分離常數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的求值問題.
試題解析:(I)函數(shù)定義域為,, 1分
,由題意,解得. 4分
(II),
令,,
(i)當時,,,,函數(shù)f(x) 在上單調(diào)遞增;
(ii)當時,,,函數(shù)f(x) 在上單調(diào)遞增;
(iii)當時,,
在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
(iv)當時,,在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 8分
綜上所述:當時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分
法二:(i)當時,恒成立,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增;
,令,,
(ii)當時,,,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增;
(iii)當時,,
在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 8分
綜上所述:當時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分
法三:因為x>0,.
(i)當時,在區(qū)間上函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;
(ii)當時,,
在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減;在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 8分
綜上所述:當時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分
(III)不等式在區(qū)間上恒成立等價于. 10分
令,
,
在區(qū)間上,,函數(shù)g(x)為減函數(shù);
在區(qū)間上,,函數(shù)g(x)為增函數(shù); 12分
得,
所以實數(shù)的范圍是.
考點:1.導數(shù)的幾何意義;2.函數(shù)的單調(diào)性;3.不等式很犀利問題;4.分類討論思想.
科目:高中數(shù)學 來源:2015年東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷(一)理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)2014年7月16日,中國互聯(lián)網(wǎng)絡信息中心發(fā)布《第三十四次中國互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展狀況報告》,報告顯示:我國網(wǎng)絡購物用戶已達億.為了了解網(wǎng)購者一次性購物金額情況,某統(tǒng)計部門隨機抽查了6月1日這一天100名網(wǎng)購者的網(wǎng)購情況,得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表.已知網(wǎng)購金額在2000元以上(不含2000元)的頻率為.
確定,,,的值,并補全頻率分布直方圖;
(2)為進一步了解網(wǎng)購金額的多少是否與網(wǎng)齡有關,對這100名網(wǎng)購者調(diào)查顯示:購物金額在2000元以上的網(wǎng)購者中網(wǎng)齡3年以上的有35人,購物金額在2000元以下(含2000元)的網(wǎng)購者中網(wǎng)齡不足3年的有20人.
(1)請將列聯(lián)表補充完整;
網(wǎng)齡3年以上 | 網(wǎng)齡不足3年 | 合計 | |
購物金額在2000元以上 | 35 | ||
購物金額在2000元以下 | 20 | ||
合計 | 100 |
(2)并據(jù)此列聯(lián)表判斷,是否有%的把握認為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在三年以上有關?
參考數(shù)據(jù):
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年浙江省紹興市高三上學期期末統(tǒng)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
將函數(shù)圖象向右平移()個單位,得到函數(shù)的圖象,若在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最小值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年山東省濟南市高三上學期期末考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
某省為了研究霧霾天氣的治理,一課題組對省內(nèi)24個城市進行了空氣質(zhì)量的調(diào)查,按地域特點把這些城市分成了甲、乙、丙三組.已知三組城市的個數(shù)分別為4,8,12,課題組用分層抽樣的方法從中抽取6個城市進行空氣質(zhì)量的調(diào)查.
(I)求每組中抽取的城市的個數(shù);
(II)從已抽取的6個城市中任抽兩個城市,求兩個城市不來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年山東省濟南市高三上學期期末考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù),則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點,求的取值范圍.
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