Question

已知曲線C：x²+y²+2x+m=0（m∈R）
（1）討論曲線C的形狀；
（2）若m=-7，過點P（-1，2）的直線與曲線C交于A，B兩點，且|AB|=2

7

，求直線AB的傾斜角α．

Answer 1

分析：（1）通過配方后，對m分類討論即可得出；
（2）利用點到直線的距離公式先求出圓心到直線的距離，再利用|AB|=2

r2-d2

即可求出直線的斜率．

解答：解：（1）由曲線C：x²+y²+2x+m=0可得（x+1）²+y²=1-m，
①當1-m＞0，即m＜1時，曲線C表示的是以C（-1，0）為圓心，r=

1-m

為半徑的圓；
②當1-m=0，即m=1時，曲線C表示的是一個點C（-1，0）；
③當1-m＜0，即m＞1時，曲線C不表示任何圖形．
（2）當m=-7時，曲線C化為：（x+1）²+y²=8．
若直線AB⊥x軸，則線段AB為直徑，于是|AB|=4

2

與已知|AB|=2

7

矛盾，應舍去，因此直線AB與x軸不垂直．
設直線AB的斜率為k，則方程為y-2=k（x+1），化為kx-y+k+2=0．
由點到直線的距離公式可得圓心C（-1，0）到直線AB的距離d=

|-k+k+2|

k2+1

=

2

k2+1

，
∵|AB|=2

r2-d2

，
∴2

7

=2

8-( 2 k2+1 )2

，化為k²=3，∴k=±

3

．
∴tanα=±

3

，又∵α∈[0，π），∴α=

π

3

或

2π

3

．

點評：熟練掌握圓的一般方程與標準方程、配方法、分類討論的思想方法、直線與圓相交弦長公式|AB|=2

r2-d2

是解題的關鍵．