Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，則下列命題中真命題是（　　）

• A、“a²+b²＞c²”是“△ABC為銳角三角形”的充要條件
• B、“a²+b²＜c²”是“△ABC為鈍角三角形”的必要不充分條件
• C、“a+b=2c”是“△ABC為等邊三角形”的既不充分也不必要條件
• D、“a³+b³=c³”是“△ABC為鈍角三角形”的充分不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于A，利用余弦定理結(jié)合a²+b²＞c²求得cosC＞0，不見得得到△ABC為銳角三角形，反之由△ABC為銳角三角形能得到a²+b²＞c²；
對(duì)于B，利用余弦定理結(jié)合a²+b²＜c²求得cosC＜0，反之由△ABC為鈍角三角形不一定得到a²+b²＞c²；
對(duì)于C，舉特例說明不充分，直接由△ABC為等邊三角形推得a+b=2c；
對(duì)于D，把給出的等式變形，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a²+b²＞c²，反之，由△ABC為銳角三角形不能得到
a³+b³=c³．

解答： 解：a²+b²＞c²成立時(shí)，由余弦定理可得cosC＞0，即C為銳角，但此時(shí)△ABC形狀不能確定，若△ABC為銳角三角形，C一定為銳角，此時(shí)a²+b²＞c²成立，故a²+b²＞c²是△ABC為銳角三角形的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)a²+b²＜c²成立時(shí)，由余弦定理可得cosC＜0，即C為鈍角，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，若△ABC為鈍角三角形時(shí)，C可能為銳角，則“a²+b²＜c²”是“△ABC為鈍角三角形”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；
取a=5，b=3，c=4，滿足a+b=2c，三角形為直角三角形．若△ABC為等邊三角形，則a=b=c，滿足a+b=2c．
∴“a+b=2c”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件，命題C錯(cuò)誤；
由a³+b³=c³，得(

a

c

)3+(

b

c

)3=1，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
則(

a

c

)2+(

b

c

)2＞(

a

c

)3+(

b

c

)3=1，即a²+b²＞c²．
∴△ABC為銳角三角形．反之不一定是C為銳角，則“a³+b³=c³”是“△ABC為銳角三角形”的充分不必要條件．故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法，對(duì)選項(xiàng)D的靈活變形是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．