Question

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）已知圓W：x2+y2=

2

3

的切線l與軌跡C相交于P，Q兩點(diǎn)，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且在線段AB外時(shí)，P（±

2

，0）；當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，由余弦定理得動(dòng)點(diǎn)P在以A、B為兩焦點(diǎn)的橢圓上，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，以PQ為直徑的圓的方程經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O；當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)．設(shè)直線l的方程為y=kx+m．由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．由此能求出以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．故以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．

解答： （1）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，
θ不存在或θ=

π

2

，均不滿足題目條件；（1分）
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且在線段AB外時(shí)，
θ=0，設(shè)P（p，0），
由|PA|•|PB|cos²θ=1，得（p+1）（p-1）=1，
∴p=±

2

，∴P（±

2

，0）；（3分）
③當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，
在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4，∴|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，
即動(dòng)點(diǎn)P在以A、B為兩焦點(diǎn)的橢圓上．
方程為：

x2

2

+y2=1．（x≠±

2

）
綜合①②③可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：

x2

2

+y2=1．（6分）
（2）證明：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)．
∵直線l與圓W相切，故切線方程為x=

6

3

或x=-

6

3

，
切線方程與

x2

2

+y2=1聯(lián)立方程組，
求得P，Q為（

6

3

，±

6

3

）或P，Q為（-

6

3

，±

6

3

），
則以PQ為直徑的圓的方程為(x±

6

3

)2+y2=

2

3

，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．
②當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)．
與①類似，求得以PQ為直徑的圓的方程為x2+(y±

6

3

)2=

2

3

，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．（10分）
③當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)．設(shè)直線l的方程為y=kx+m．
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-4km

2k2+1

，x₁•x₂=

2m2-2

2k2+1

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

2k2+1

．
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=

3m2-2k2-2

2k2+1

．①
∵直線l和圓W相切，
∴圓心到直線l的距離d=

|m|

1+k2

=

6

3

，整理得m²=

2

3

（1+k²）．②
將②式代入①式，得

OP

•

OQ

=0，顯然以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．
綜上可知，以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．