Question

試證：不論正數(shù)a，b，c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1，n∈N且a，b，c互不相等時(shí)，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

Answer 1

分析：首先題目要求證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，考慮到用數(shù)學(xué)歸納法證明，本題中使用到結(jié)論有 （a^k-c^k）（a-c）＞0恒成立（a、b、c為正數(shù)），從而a^k+1+c^k+1＞a^k•c+c^k•a．即可得到答案．

解答：證明 （1）設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=

b

q

，c=bq（q＞0且q≠1）
∴aⁿ+cⁿ=

bn

qn

+bⁿqⁿ=bⁿ（

1

qn

+qⁿ）＞2bⁿ

（2）設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，
則2b=a+c猜想

an+cn

2

＞(

a+c

2

)n（n≥2且n∈N^*）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=2時(shí)，由2（a²+c²）＞（a+c）²，∴

a2+c2

2

＞(

a+c

2

)2
②設(shè)n=k時(shí)成立，即

ak+ck

2

＞(

a+c

2

)k．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

ak+1+ck+1

2

=

1

4

（a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1）＞

1

4

（a^k+1+c^k+1+a^k•c+c^k•a）=

1

4

（a^k+c^k）（a+c）
＞（

a+b

2

）^k•（

a+b

2

）=（

a+b

2

）^k+1
也就是說，等式對n=k+1也成立
由①②知，aⁿ+cⁿ＞2bⁿ對一切自然數(shù)n均成立

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟．屬于綜合性試題有一定的難度．