Question

已知偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="9dlvdhx" class="MathJye">(-

π

2

，

π

2

)，其導(dǎo)數(shù)為f′（x），對(duì)任意的x∈[0，

π

2

)，都有f′（x）＞tanx•f（x）成立，則（　�。�

• A、

  2

  f(

  π

  4

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )＜f(-

  π

  3

  )
• B、

  3

  f(-

  π

  6

  )＜

  2

  f(

  π

  4

  )＜f(-

  π

  3

  )
• C、

  2

  f(

  π

  4

  )＜f(-

  π

  3

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )
• D、f(-

  π

  3

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )＜

  2

  f(

  π

  4

  )

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先構(gòu)造函數(shù)設(shè)F（x）=cosxf（x），再求導(dǎo)，判斷出函數(shù)F（x）的單調(diào)性質(zhì)，根據(jù)單調(diào)性，問題得以解決．

解答： 解：設(shè)F（x）=cosxf（x），
∴F′（x）=-sinxf（x）+cosxf′（x）=cosx[f′（x）-tanxf（x）]，
∵對(duì)任意的x∈[0，

π

2

)，都有f′（x）＞tanx•f（x）成立，
∴F′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在[0，

π

2

）上為增函數(shù)，
∴F（

π

6

）＜F（

π

4

）＜F（

π

3

），
又f（x）為偶函數(shù)，
∴F（-

π

6

）＜F（

π

4

）＜F（-

π

3

），
即

3

f（-

π

6

）＜

2

f（

π

4

）＜f（-

π

3

），
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和法則以及函數(shù)的單調(diào)性的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．