Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）試探究數(shù)列{a_n-1}是否是等比數(shù)列？
（2）試證明

n

i=1

ai≥1+n．

Answer 1

分析：（1）由（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，得（a_n-1）（4a_n+1-4a_n+a_n-1）=0，所以4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，由此能夠證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
（2）由（1）知an=(

3

4

)n-1+1，

n

i=1

ai=4[1-（

3

4

）ⁿ]+n，由此能夠證明

n

i=1

ai≥1+n．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），
∴由（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，
得4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0，即（a_n-1）（4a_n+1-4a_n+a_n-1）=0，（1分）
∴a_n-1=0，或4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，
∵a₁=2，∴a_n-1=0不合題意，舍去．
由4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，
得4a_n+1=3a_n+1，∴an=

3

4

an-1+

1

4

，（n≥2）--------（3分）
∴

an-1

an-1

=

3 4 an-1+ 1 4 -1

an-1-1

=

3

4

，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項為a₁-1，公比為

3

4

的等比數(shù)列．（5分）
（2）證明：由（1）知數(shù)列{a_n-1}是首項為a₁-1=1，公比為

3

4

的等比數(shù)列，
∴an-1=(

3

4

)n-1，∴an=(

3

4

)n-1+1，（6分）
∴

n

i=1

ai=1+

3

4

+(

3

4

)2+…+(

3

4

)n-1+n
=

[1-( 3 4 )n]

1- 3 4

+n=4[1-(

3

4

)n]+n，（8分）
∵對?n∈N^*，有（

3

4

）ⁿ≤

3

4

，
∴1-（

3

4

）ⁿ≥1-

3

4

=

1

4

，
∴4[1-（

3

4

）ⁿ]+n≥1+n，即

n

i=1

ai≥1+n．（10分）

點評：本題考查等比數(shù)列的判斷和不等式的證明，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．