Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=-a_n²+2a_n（n∈N^*），且0＜a₁＜1．
（1）用數學歸納法證明：0＜a_n＜1；
（2）若b_n=lg（1-a_n），且，求無窮數列所有項的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求用數學歸納法證明：按照兩個步驟進行，特別注意遞推即可．
（2）由a_n+1=-a_n²+2a_n和b_n=lg（1-a_n）及，求得b_n列進而求得，再取極限即可．
解答：（1）證明：①當n=1時，由條件知，成立
②假設n=k成立，即0＜a_k＜1成立，
當n=k+1時，a_k+1=-a_k²+2a_k=-（a_k-1）²+1，
∵0＜a_K＜1
∴0＜（a_k-1）²＜1
∴0＜-（a_k-1）²+1＜1
∴0＜a_K+1＜1
這就是說，當=k+1時，0＜a_k＜1也成立．
根據①②知，對任意n∈N*，不等式0＜a_n＜1恒成立．

（2）解：1-a_n+1=（1-a_n）²，0＜a_n＜1；
lg（1-a_n+1）=lg（1-a_n）²，，即lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即：b_n+1=2b_n
∴{b_n}是以-1為首項，以2為公比的等比數列．
∴b_n=-2^n-1，∴
無究數列{}所有項的和為：
=（）=[（-1）×]=-2×（）=-2
點評：本題主要考查數學歸納法和等比數列的求法及無窮數學所有項的和的求法．