Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱BB₁和DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）求四面體A₁-FEA的體積．
（3）若G是C₁D₁上靠近C₁的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)H在底面ABCD內(nèi)，且AH=

1

2

，請(qǐng)說明點(diǎn)H的軌跡，并探求GH長度的最小值．

Answer 1

（1）∵E，F(xiàn)分別為棱BB₁和DD₁的中點(diǎn)，∴FD∥B₁E，F(xiàn)D=B₁E，
∴四邊形FDEB₁為平行四邊形，∴DF∥FB₁，DF?平面ADE，F(xiàn)B₁?平面ADE，
∴FB₁∥平面ADE，
又AD∥B₁C₁，AD?平面ADE，B₁C₁?平面ADE，∴B₁C₁∥平面ADE，
又FB₁∩B₁C₁=B₁，∴平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）連接EF、AF、A₁F，A₁E，
∴VA1-AEF=VE-A1AF=

1

3

×

1

2

×AA₁×AD×AB=

1

6

×1×1×1=

1

6

；
（3）∵AH=

1

2

，動(dòng)點(diǎn)H在底面ABCD內(nèi)，∴點(diǎn)H的軌跡為

1

4

圓弧，
過G作GM⊥CD，垂足為M，∵M(jìn)H≥MA-AH=

( 3 4 )2+12

-

1

2

=

3

4

，
又GH=

GH2+MH2

≥

12+( 3 4 )2

=

5

4

．
∴GH長度的最小值為

5

4

．