Question

某工藝品廠要生產(chǎn)如圖所示的一種工藝品，該工藝品由一個圓柱和一個半球組成，要求半球的半徑和圓柱的底面半徑之比為3：2，工藝品的體積為34πcm³．設(shè)圓柱的底面直徑為4x（cm），工藝品的表面積為S（cm²）．
（1）試寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）怎樣設(shè)計才能使工藝品的表面積最��？

Answer 1

（1）由題知圓柱的底面半徑為2x，半球的半徑為3x．
設(shè)圓柱的高為h（cm）．因為工藝品的體積為34πcm³，所以

1

2

×

4

3

(3x)3+π(2x)2h=34π，
所以h=

17

2x2

-

9

2

x，所以工藝品的表面積為
S=

1

2

×4π(3x)2+2π(2x)h+π(3x)2+2×π(2x)2
=35πx2+4πx(

17

2x2

-

9

2

x)
=17π(x2+

2

x

).
由x＞0且h=

17

2x2

-

9

2

x＞0，得0＜x＜

3 51

3

.
所以S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=17π(x2+

2

x

)，0＜x＜

3 51

3

.
（2）由（1）知，S′=17π(2x-

2

x

)=

34π(x3-1)

x2

，0＜x＜

3 51

3

.令S'=0，得x=1．
當0＜x＜1時，S'＜0，所以S關(guān)于x∈（0，1]是單調(diào)減函數(shù)；
當1＜x＜

3 51

3

時，S'＞0，所以S關(guān)于x∈[1，

3 51

3

)是單調(diào)增函數(shù)．
所以，當x=1時，S取得最小值Smin=17π(12+

2

1

)=51π，此時h=4．
答：按照圓柱的高為4cm，圓柱的底面半徑為2cm，半球的半徑為3cm設(shè)計，工藝品的表面積最小，為51πcm²．