Question

已知橢圓的內(nèi)接三角形有一個(gè)頂點(diǎn)在短軸的頂點(diǎn)處，其重心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求該橢圓離心率e的取值范圍．

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：設(shè)出橢圓方程，根據(jù)其內(nèi)接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，重心是一個(gè)焦點(diǎn)，利用向量求出已知頂點(diǎn)對(duì)邊的中點(diǎn)，由該中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部列式求橢圓離心率的范圍．
解答：不防設(shè)橢圓方程：（a＞b＞0），
再不妨設(shè)：B（0，b），三角形重心G（c，0），
延長(zhǎng)BG至D，使|GD|=，
設(shè)D（x，y），則，，
由，得：，
解得：，．
而D是橢圓的內(nèi)接三角形一邊AC的中點(diǎn)，
所以，D點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部，
則．
把b²=a²-c²代入上式整理得：．
即．
又因?yàn)闄E圓離心率e∈（0，1），
所以，該橢圓離心率e的取值范圍是．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了橢圓離心率的求法，求橢圓離心率范圍的關(guān)鍵是利用橢圓的性質(zhì)及平面幾何知識(shí)，找到含有a和c的不等式．此題是中檔題．