Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3bx²+3cx的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．證明：0≤f(x1)≤

7

2

，-10≤f(x2)≤-

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f（x）得f′（x）=3x²+6bx+3c由題意知方程f′（x）=0有兩個(gè)根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]則由根的分布得有2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0，可得-2≤c≤0，用消元法消去參數(shù)b，利用參數(shù)c表示出f（x₁）和f（x₁）的值域，再利用參數(shù)c的范圍能證明0≤f(x1)≤

7

2

，-10≤f(x2)≤-

1

2

．

解答： 證明：f′（x）=3x²+6bx+3c，
由題意知方程f′（x）=0有兩個(gè)根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，
則有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
即滿足下列條件2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0
∴有圖中四邊形ABCD即是滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域．
∴-2≤c≤0
由題設(shè)知f′（x₁）=3x₁²+6bx₁+3c=0，
則bx₁=-

1

2

x₁²-

1

2

c，
∴f（x₁）=-

1

2

x13+

3c

2

x1，
由于x₁∈[-1，0]，c≤0，
∴0≤f（x₁）≤

1

2

-

3c

2

，
∵-2≤c≤0，
∴0≤f（x₁）≤

7

2

．
f′（x₂）=3x₂²+6bx₂+3c=0，
bx₂=-

2

2

x₂²-

2

2

c，
∴f（x₂）=-

1

2

x23+

3c

2

x2，
由于x₂∈[1，2]，c≤0，
∴-4+3c≤f（x₂）≤-

1

2

+

3

2

c．
∵-2≤c≤0，
∴-10≤f(x2)≤-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉導(dǎo)數(shù)與實(shí)根分布問(wèn)題的處理方法，有難度．