Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PB⊥BC，PD⊥DC，且PC=

3

．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）棱PD上是否存在一點E，使直線EC與平面BCD所成的角是30°？若存在，求PE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的性質(zhì),與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出CD⊥PA，BC⊥PA，由此能夠證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接AC，由（Ⅰ）和題設(shè)條件知PA⊥平面ABCD．分別以AD，AB，AP所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．
（Ⅲ）棱PD上存在點E滿足條件，設(shè)

PE

=λ

PD

=(λ，0，-λ)，λ∈[0，1]．由平面BCD的一個法向量為

AP

=(0，0，1)．能求出棱PD上存在點E，使直線EC與平面BCD所成的角是30°，并能求出此時PE的長．

解答： （本小題滿分11分）
（Ⅰ）證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．
∵CD⊥PD，AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD．…（1分）
∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA．…（2分）
同理，BC⊥PA．
∵BC∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD．…（3分）
（Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，PA⊥AC．…（4分）
∵PC=

3

，AC=

2

，∴PA=1．
分別以AD，AB，AP所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
由題意可得：B（0，1，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）．
∴

DC

=(0，1，0)，

DP

=(-1，0，1)，

BD

=(1，-1，0)，

BP

=(0，-1，1)．
設(shè)平面PDC的一個法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DC =0 n • DP =0

，∴

y=0，      -x+z=0

，
令x=1，得z=1，∴

n

=（1，0，1）．
設(shè)平面PDB的一個法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），
則

m • DP =0 m • BP =0

，∴

-x1-+z1=0 -y1+z1=0

，
∴

m

=（1，1，1）．        …（6分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1+0+1

2 • 3

=

6

3

．
∴二面角B-PD-C的余弦值為

6

3

．…（8分）
（Ⅲ）存在．理由如下：
若棱PD上存在點E滿足條件，設(shè)

PE

=λ

PD

=(λ，0，-λ)，λ∈[0，1]．
∴

EC

=

PC

-

PE

=(1，1，-1)-(λ，0，-λ)=(1-λ，1，λ-1)．…（9分）
∵平面BCD的一個法向量為

AP

=(0，0，1)．
∴|cos＜

EC

，

AP

＞|=|

EC • AP

| EC || AP |

|=|

λ-1

2(1-λ)2+1

|．
令 |

λ-1

2(1-λ)2+1

|=sin30°=

1

2

，解得：λ=1±

2

2

．
經(jīng)檢驗λ=1-

2

2

∈[0，1]．
∴棱PD上存在點E，使直線EC與平面BCD所成的角是30°，
此時PE的長為

2

-1．…（11分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．