Question

如圖，某住宅小區(qū)在圍墻的墻角處有一矩形綠地ABCD，周圍均為荒地，開發(fā)商欲把墻角處改造擴(kuò)建成一個更大的綠地三角形花園AEF，要求EF過點(diǎn)C，若AB長15m，AD長10m．
（1）要使綠地AEF的面積不超過400m²，則AE的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）若在改造擴(kuò)建過程中，原綠地改造的費(fèi)用為每平方100元，旁邊荒地改造的費(fèi)用為每平方200元，則當(dāng)AE的長度是多少時，開發(fā)商投入的費(fèi)用最��？并求出最小費(fèi)用．

Answer 1

解：（1）設(shè)BE=xm，則DF=m
∴AE=15+x，AF=+10
∴△AEF的面積為（15+x）（+10）m²，
∵綠地AEF的面積不超過400m²，
∴（15+x）（+10）≤400
∴x²-50x+225≤0
∴5≤x≤45
∴20≤AE≤60
（2）由題意，荒地改造的面積最小時，開發(fā)商投入的費(fèi)用最小，此時△AEF的面積最小．
△AEF的面積為（15+x）（+10）=≥300，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=15，AE=30m時，
開發(fā)商投入的費(fèi)用最小，最小為100×15×10+200×（300-150）=45000元．
分析：（1）設(shè)BE的長，求出DF的長，進(jìn)而可得△AEF的面積，利用綠地AEF的面積不超過400m²，建立不等式，即可求得AE的范圍；
（2）由題意，荒地改造的面積最小時，開發(fā)商投入的費(fèi)用最小，此時△AEF的面積最小．
點(diǎn)評：本題考查三角形面積的計(jì)算，考查解不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定△AEF的面積．