Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：計(jì)算題

分析：（1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算及三角函數(shù)公式求

a

•

b

，先求出，|

a

+

b

|²，再求|

a

+

b

|，
（2）f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，①由此利用分類討論思想能求出實(shí)數(shù)λ的值．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x，
∵|

a

+

b

|²=

a

²+

b

²+2

a

•

b

=2+2cos2x=4cos²x，且x∈[0，

π

2

]，1≥cosx≥0，
∴|

a

+

b

|=2cosx
（2）f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
①當(dāng)λ＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時(shí)，f（x）_min=-1，與已知矛盾．
②當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時(shí)，f（x）_min=-1-2λ²=-

3

2

，解得λ=

1

2

③當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）_min=1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，與λ＞1矛盾
綜上所述，λ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，三角函數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用，分類討論的思想方法．．