Question

已知f（x）是偶函數(shù)，x∈R，若將f（x）的圖象向右平移一個單位又得到一個奇函數(shù)，又f（2）=-1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=（　�。�

A．-1003

B．1003

C．1

D．-1

Answer 1

∵函知f（x）是R上偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）．
又將f（x）的圖象向右平移一個單位又得到一個奇函數(shù)，∴f（-x-1）=-f（x-1）．
∴f（x+1）=f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)．
對于式子f（-x-1）=-f（x-1），令x=0，則f（-1）=-f（-1），
∴f（-1）=0=f（1），
∴f（3）=f（-1）=0，
又f（2）=-1，
∴f（4）=-f（3-1）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0-1+0+1=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（2009）+f（2010）+f（2011）
=f（1）+f（2）+f（3）=0-1+0=-1．
故選D．