Question

（本小題滿分１２分）
如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)。
（I）證明：ED為異面直線與的公垂線；
（II）設(shè)求二面角的大小。

Answer 1

Ⅰ）設(shè)O為AC中點(diǎn)，連結(jié)EO，BO，則EO又，所以EODB，
EOBD為平行四邊行，ED∥OB。                            ……2分
∵AB=BC，∴RO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BO面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，
∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED⊥AC₁、ED⊥CC₁，
∴ED⊥BB₁，ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線。        ……6分
（Ⅱ）連結(jié)A₁E，由AA₁=AC=AB可知，A₁ACC₁為正方形，
∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面A₁ACC₁和ED平面ADC₁知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁E⊥平面ADC_1，作EF⊥AD，垂足為F，連結(jié)A₁F，則A₁F⊥AD,∠A₁FE為二面角的平面角。
不妨設(shè)AA₁=2，
則AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，
∴∠A₁EF=60^O。
所以二面角為60^O。                                    ……12分
解法二：
（Ⅰ）如圖，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)。
設(shè)A（a,0,0）,B(0,b,0),B₁(0,b,2c).
則C（ ……3分


又        
所以ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線。       ……6分
（Ⅱ）不妨設(shè)A（1，0，0）
則B（0，1，0），C（-1，0，0），A（1，0，2），

∴         BC⊥面A₁AD.
又        
∴         EC⊥面C₁AD.                                          ……10分
的夾角為60⁰ 
所以二面角為60°。                                    ……12

略