解:(1)∵{a
n}是遞增的等差數(shù)列,設(shè)公差為d(d>0)…(1分)
∵a
1、a
2、a
4成等比數(shù)列,
∴
…(2分)
由 (1+d)
2=1×(1+3d)及d>0,得d=1,…(3分)
∴a
n=n(n∈N
*).…(4分)
(2)∵a
n+1=n+1,
對n∈N
*都成立,
當(dāng)n=1時,
,得c
1=4,…(5分)
當(dāng)n≥2時,由
,①
及
,②
①-②得
,得
…(7分)
∴
.…(8分)
∴
…(10分)
(3)對于給定的n∈N
*,若存在k,t≠n,k,t∈N
*,使得b
n=b
k•b
t…(11分)
∵
,只需
,…(12分)
即
,即
即kt=nt+nk+n,
取k=n+1,則t=n(n+2)…(14分)
∴對數(shù)列{b
n}中的任意一項
,
都存在
和
,
使得
.…(16分)
分析:(1)由{a
n}是遞增的等差數(shù)列,設(shè)公差為d(d>0),由a
1、a
2、a
4成等比數(shù)列,能求出數(shù)列{a
n}的通項公式a
n.
(2)由a
n+1=n+1,
對n∈N
*都成立,能推導(dǎo)出
,由此能求出c
1+c
2+…+c
2012的值.
(3)對于給定的n∈N
*,若存在k,t≠n,k,t∈N
*,使得b
n=b
k•b
t,由
,只需
,由此能夠證明數(shù)列{b
n}中的任意一項總可以表示成其他兩項之積.
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列的前n項和的求法,綜合性強(qiáng),對數(shù)學(xué)思維的要求較高,解題時要認(rèn)真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.