（1）已知a，b，x，y是正實(shí)數(shù)，求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，當(dāng)且僅當(dāng)
a
x
=
b
y
時(shí)等號(hào)成立；
（2）求函數(shù)f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值時(shí)x的值．
分析：（1）欲證
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，即證：(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)≥(a+b) 2．利用基本不等式a2+b2≥2ab，乘積一定，和有最小值，等號(hào)成立的條件是兩正數(shù)相等即可證明得到；
（2）注意到sec2x-tan2x=1，利用（1）的結(jié)論，將（2）變形為f(x)=
1 2
3-tan2x
+
3 2
8+sec2x
即可．
解答：解：（1）應(yīng)用二元均值不等式，得 (
a2
x
+
b2
y
)(x+y)=a2+b2+a2
y
x
+b2
x
y
≥a2+b2+2
a2
y
x
b2
x
y
=（a+b）2，
故
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
．
當(dāng)且僅當(dāng) a2
y
x
=b2
x
y
，即
a
x
=
b
y
時(shí)上式取等號(hào)．
（2）由（1）f(x)=
1 2
3-tan2x
+
3 2
8+sec2x
≥
(1+3) 2
11+1
=
4
3
．
當(dāng)且僅當(dāng)
1
3-tan2x
=
3
8+sec2x
，即 x=kπ，k∈Z時(shí)上式取最小值，即[f（x）]min=
4
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的應(yīng)用，另外給你一種解題工具，讓你應(yīng)用它來解答某一問題，這是近年考試命題的一種新穎的題型之一，很值得讀者深刻反思和領(lǐng)悟當(dāng)中的思維本質(zhì)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•菏澤二模）下列命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜loga2＜logb2，則a＞b＞1；
③已知a，b∈R*，2a+b=1，則
2
a
+
1
b
有最小值8；
④已知向量a=（1，2），b=（2，0），若向量λa+b與向量c=（1，-2）共線，則實(shí)數(shù)λ等于-1．
其中，正確命題的序號(hào)為
①②④
①②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B為x軸上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且|PA|=|PB|，若直線PA的方程為x-y+1=0，則直線PB的方程為 （　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

附加題：（二選一，請(qǐng)將解題過程解答在相應(yīng)的框內(nèi)，答錯(cuò)位置不給分；多答按第一問給分，不重復(fù)給分）
（1）已知a，b，c＞0，且a2+b2=c2，求證：an+bn＜cn（n≥3，n∈R+）
（2）已知x，y，z＞0，則
x2+y2+xy
+
y2+z2+yz
＞
z2+x2+xz
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知a，b，x，y是正實(shí)數(shù)，求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，當(dāng)且僅當(dāng)
a
x
=
b
y
時(shí)等號(hào)成立；
（2）求函數(shù)f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值時(shí)x的值．

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