Question

已知函數f（x）=1+sinx，（x∈[0，2π））圖象在點P處的切線與函數g(x)=

x

(

x

3

+1)圖象在點Q處的切線平行，則直線PQ與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為______．

Answer 1

設P（a，b），Q（m，n）
求導函數，f′（x）=cosx，g′(x)=

1

2

(

x

+

1

x

)
∴g′(x)=

1

2

(

x

+

1

x

)≥1，-1≤f′（x）≤1
∵函數f（x）=1+sinx，（x∈[0，2π））圖象在點P處的切線與函數g(x)=

x

(

x

3

+1)圖象在點Q處的切線平行
∴f′（a）=g′（m）
∴cosa=1，g′(m)=

1

2

(

m

+

1

m

)
∵a∈[0，2π），x＞0
∴a=0，m=1
∴f(a)=f(0)=1，g(m)=g(1)=

4

3

∴P(0，1)，Q(1，

4

3

)
∴直線PQ的方程為：

y-1

4 3 -1

=

x-0

1-0

即y-1=

1

3

x
∴x=0時，y=1，y=0時，x=-3，
∴直線PQ與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為

1

2

×1×3=

3

2

故答案為：

3

2