Question

若橢圓（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線段F₁F₂被拋物線y²=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點(diǎn)C（﹣1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l和橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）由題意知，c+ =3（c﹣ ），
∴b=c，
∴a²=2b²，
∴e= = = ．
（2）設(shè)直線l：x=ky﹣x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵ ，
∴（﹣1﹣x₁，﹣y₁）=2（x₂+1，y₂），即2y₂+y₁=0，①
由（1）知，a²=2b²，∴橢圓方程為x²+2y²=2b²，
由 ，消去x，得（k²+2）y²﹣2ky+1﹣2b²=0，
∴ ，…②  
，…③
由①②知， ， ，
∵ = ，
∴S=3 =3≤3 = ，
當(dāng)且僅當(dāng)|k|²=2，即k= 時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線的方程為x= 或x= ．
又當(dāng)|k|²=2時(shí)， =﹣ =﹣1，
∴由 ，得b²= ，
∴橢圓方程為 ．