Question

甲、乙兩人進行摸球游戲，每次摸取一個球，一袋中裝有形狀、大小相同的1個紅球和2個黑球，規(guī)則如下：若摸到紅球，將此球放入袋中可繼續(xù)再摸；若摸到黑球，將此球放入袋中則由對方摸球．
（1）求在前四次摸球中，甲恰好摸到兩次紅球的概率；
（2）設隨機變量ξ表示前三次摸球中甲摸到紅球的次數(shù)，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題意知前4次摸球甲恰好摸到2次紅球，包括三種情況，這三種情況是互斥的，而每一種情況中的事件是相互獨立的，根據(jù)這兩種概率的公式得到結果．
（2）ξ的所有取值分別為0，1，2，結合變量對應的事件和互斥事件的概率公式，寫出變量的概率，寫出分布列和期望值．

解答：解：（1）設甲、乙兩人摸到的球為紅球分別為事件A，事件B，
前四次摸球中甲恰好摸到兩次紅球為事件C，
則P(A)=P(B)=

1

3

則P(C)=P(AA

.

A

+A

.

A

.

B

A+

.

A

.

B

AA)
=

1

3

×

1

3

×

2

3

+

1

3

×

2

3

×

2

3

×

1

3

+

2

3

×

2

3

×

1

3

×

1

3

=

14

81

（2）ξ的所有取值分雖為0，1，2
P(ξ=0)=

2

3

×

1

3

+

2

3

×

2

3

×

2

3

=

14

27

，
P(ξ=1)=

1

3

×

2

3

+

2

3

×

2

3

×

1

3

=

10

27

，
P(ξ=2)=

1

3

×

1

3

×

2

3

=

2

27

，
P(ξ=3)=

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	14 27	10 27	2 27	1 27

∴Eξ=0×

14

27

+1×

10

27

+2×

2

27

+3×

1

27

=

17

27

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種題型是高考卷中一定出現(xiàn)的一種題目，注意解題的格式．