Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且a_n=2a_n-1+1（n≥2），則a₅為（ ）
A．7
B．15
C．30
D．31

Answer 1

【答案】分析：（法一）利用已遞推關(guān)系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分別代入進(jìn)行求解即可求解
（法二）利用迭代可得a₅=2a₄+1=2（a₃+1）+1=…進(jìn)行求解
（法三）構(gòu)造可得a_n+1=2（a_n-1+1），從而可得數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為等比數(shù)列，可先求a_n+1，進(jìn)而可求a_n，把n=5代入可求
解答：解：（法一）∵a_n=2a_n-1+1，a₁=1
a₂=2a₁+1=3
a₃=2a₂+1=7
a₄=2a₃+1=15
a₅=2a₄+1=31
（法二）∵a_n=2a_n-1+1
∴a₅=2a₄+1=4a₃+3=8a₂+7=16a₁+15=31
（法三）∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∵a₁+1=2
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為等比數(shù)列
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
∴a₅=2⁵-1=31
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的項(xiàng)，注意本題解法中的一些常見的數(shù)列的通項(xiàng)的求解：迭代的方法即構(gòu)造等比（等差）數(shù)列的方法求解，尤其注意解法三中的構(gòu)造等比數(shù)列的方法的應(yīng)用