四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為8的菱形,∠BAD=
π3
,若PA=PD=5,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)求證:AD⊥PB;
(3)若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),能否在棱PC上找到一點(diǎn)F,使平面 DEF⊥平面ABCD,并證明你的結(jié)論?
分析:(1)四棱錐P-ABCD的體積=
1
3
×菱形ABCD的面積×棱錐的高,由平面PAD⊥平面ABCD,過P作PM⊥AD于M可得高PM,菱形ABCD的面積也可求;
(2)要證AD⊥PB,只需證AD⊥平面PMB,由AD⊥PM,AD⊥BM可證得;
(3)當(dāng)點(diǎn)F為棱PC的中點(diǎn)時,面DEF⊥面ABCD;因為
【法一】,由AD⊥EF,AD⊥DE證得AD⊥面DEF,從而得面DEF⊥面ABCD;
【法二】,由FO∥PM,PM⊥面ABCD,證得FO⊥面ABCD,從而得面DEF⊥面ABCD.
解答:解:(1)如圖
過P作PM⊥AD于M,
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM?平面PAD,
∴PM⊥面ABCD; 
又PA=PD=5,AD=8
∴M為AD的中點(diǎn),且PM=
52-42
=3,
∵菱形ABCD中,∠BAD=
π
3
,AD=8,
∴VP-ABCD=
1
3
×8×8×sin
π
3
×3=
1
3
×64×
3
2
×3=32
3

∴四棱錐P-ABCD的體積為32
3
;
(2)證明:連接BM,BD;
∵BD=BA=8,AM=DM,∠BAD=
π
3
,∴AD⊥BM,
又AD⊥PM,且BM∩PM=M,
∴AD⊥平面PMB,
∵PB?平面PMB,
∴AD⊥PB;
(3)能找到,并且點(diǎn)F為棱PC的中點(diǎn),
證法一:∵F為PC的中點(diǎn),點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),∴EF∥PB;
又由(2)可知AD⊥PB,∴AD⊥EF,
由AD⊥BM,BM∥DE,∴AD⊥DE;
又AD⊥EF,且DE∩EF=E,∴AD⊥面DEF;
又AD?面ABCD,∴面DEF⊥面ABCD;
證法二:設(shè)CM∩DE=O,連FO,∴O為MC的中點(diǎn);
在△PMC中,F(xiàn)O∥PM,
∵PM⊥面ABCD,∴FO⊥面ABCD,
又FO?面DEF,∴面DEF⊥面ABCD.
點(diǎn)評:本題考查了求棱錐的體積與空間中的線線垂直,線面垂直,面面垂直的性質(zhì)與判定,是易錯題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E、F、G分別是PD、PC、BC的中點(diǎn).
(I)求證:PA∥平面EFG;
(II)求平面EFG⊥平面PAD;
(III)若M是線段CD上一點(diǎn),求三棱錐M-EFG的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•上海)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn),已知AB=2,AD=2
2
,PA=2,求:
(1)三角形PCD的面積;
(2)異面直線BC與AE所成的角的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=
12
,AD=1.
(I)求證:CD⊥平面PAC
(II)求二面角A-PD-C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,M為AB的中點(diǎn).
(1)求證:BC∥平面PMD;
(2)求證:PC⊥BC;
(3)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面MDB;
(2)求證:AD⊥平面PQB;
(3)若平面PAD⊥平面ABCD,且M為PC的中點(diǎn),求四棱錐M-ABCD的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案