Question

（2008•上海模擬）在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
求：（1）異面直線AD₁與EC所成的角
（2）點(diǎn)D到平面ECD₁的距離．

Answer 1

分析：（1）證明取CD的中點(diǎn)Q，則AQ平行與EC，所以∠D₁AQ是所求的角，再根據(jù)題意求出三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案．
（2）設(shè)點(diǎn)D到平面ECD₁的距離為h，由VD1-DEC=VD-D1EC=

1

3

S△D1EC•h=

1

3

S△DEC•DD1，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）證明取CD的中點(diǎn)Q，則AQ平行與EC，所以∠D₁AQ是所求的角------（2分）
因?yàn)锳D=1，AB=2，并且Q為CD的中點(diǎn)，
所以AQ=

2

，
又因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，
所以AD₁=

2

，QD₁=

2

，
所以△D₁AQ為等邊三角形，∠D₁AQ=

π

3

-------------（5分）
所以異面直線AD₁與EC所成的角為

π

3

-------（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)D到平面ECD₁的距離為h-----------（7分）
因?yàn)?span id="nyfvztk" class="MathJye">VD1-DEC=VD-D1EC=

1

3

S△D1EC•h=

1

3

S△DEC•DD1---------（9分）
所以

1

3

×1×

1

2

×2×1=

1

3

×

1

2

×

2

×

3

×h
所以h=

6

3

----------（11分）
所以點(diǎn)D到平面ECD₁的距離為

6

3

------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間異面直線的夾角問題與點(diǎn)到平面的距離，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來(lái)，再結(jié)合解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案即可，求點(diǎn)到平面的距離的方法：一般是利用等體積法或者借助于向量求解．