Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表達式，并加以證明．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）由a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*），從n=2依次代入整數(shù)值，不難給出a₂，a₃，a₄的值；
（2）由a₂，a₃，a₄的值與n的關系，我們不難歸納推理出數(shù)列的通項公式，觀察到它們是與自然數(shù)集相關的性質(zhì)，故可采用數(shù)學歸納法來證明．

解答： 解：（1）因為a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*），所以，
當n=2時，2（a₁+a₂）=3a₂，得a₂=2；-------------------------------（2分）
當n=3時，2（a₁+a₂+a₃）=4a₃，得a₃=3；-------------------------------（4分）
當n=4時，2（a₁+a₂+a₃+a₄）=5a₄，得a₄=4．-------------------------------（6分）
（2）猜想an=n(n∈N*)．-------------------------------（7分）
由2S_n=（n+1）a_n①，可得2S_n-1=na_n-1（n≥2）②，-------------------------（8分）
①-②，得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，-------------------------------（9分）
所以（n-1）a_n=na_n-1，即

an

n

=

an-1

n-1

(n≥2)，-------------------------------（10分）
也就是

an

n

=

an-1

n-1

=

an-2

n-2

=…=

a1

1

=1，故an=n(n∈N*)．-------------------（12分）

點評：本題的考點是數(shù)學歸納法，主要考查已知數(shù)列的遞推關系式，求出數(shù)列的前幾項，猜想通項公式，利用數(shù)學歸納法證明猜想成立，注意數(shù)學歸納法證明時，必須用上假設．證明當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關鍵．