Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=

2

2

，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是

 

．
（1）AC⊥BE；        
（2）EF∥平面ABCD；
（3）面AEF⊥面BEF； 
（4）三棱錐A-BEF的體積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：通過直線AC垂直平面平面BB₁D₁D，判斷（1）是正確的；通過直線EF平行直線DB，判斷EF∥平面ABCD，（2）是正確的；對角面與側(cè)面所成角為45°，故面AEF與面BEF不可能垂直；計(jì)算三角形BEF的面積和A到平面BEF的距離是定值，說明（4）是正確的．

解答： 解：∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D∴AC⊥BE．故（1）正確；
∵B₁D₁∥平面ABCD，又E、F在直線D₁B₁上運(yùn)動(dòng)，∴EF∥平面ABCD．故（2）正確；
∵對角面與側(cè)面所成角為45°，∴面AEF與面BEF不可能垂直，故（3）不正確；
（4）中由于點(diǎn)B到直線B₁D₁的距離不變，故△BEF的面積為定值．
又點(diǎn)A到平面BEF的距離為

2

2

，故V_A-BEF為定值．故正確．
故答案為：（1）（2）（4）．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，異面直線及其所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．