18．設(shè)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函數(shù)（a，b，c∈Z），且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）

分析 由f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函數(shù)，求出c，利用f（1）=2，f（2）＜3，求出a，b，即可求f（x）．

解答 解：由f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x）對定義域內(nèi)x恒成立，
則$\frac{a（-x）^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$
∴-bx+c=-（bx+c）
對定義域內(nèi)x恒成立，
即c=0．        
又f（1）=2，f（2）＜3，
∴$\frac{a+1}$=2①，$\frac{4a+1}{2b}$＜3②
由①得a=2b-1代入②得$\frac{2b-3}{2b}$＜0
∴0＜b＜$\frac{3}{2}$
又a，b，c是整數(shù)，得b=a=1，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$．

點評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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