Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：t（S_n+1+1）=（2t+1）S _n  n∈N*．
（1）求證{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若{a_n}的公比為f（t），數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b_n+1=f（

1

bn

），求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）定義數(shù)列{c_n}為：c_n=

1

bn+1bn

，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，并求

lim

n→∞

Tn．

Answer 1

分析：（1）將S_n與a_n的遞推關(guān)系仿寫一個(gè)新的等式，兩個(gè)式子相減；利用等比數(shù)列的定義證得{a_n}是等比數(shù)列．
（2）利用等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b_n．
（3）據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)：是分式形式，且分子是常數(shù)，分母是等差數(shù)列兩項(xiàng)的乘積，所以利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，求出和的極限值．

解答：解：（1）n≥2時(shí)，t（S_n+1+1）=（2t+1）S_n，
得t（S_n+1）=（2t+1）S_n-1，
相減得：

an+1

an

=2+

1

t

，
n=1時(shí)，有t（S₂+1）=（2t+1）S₁，
又由S₂=a₁+a₂，
故有

a2

a1

=2+

1

t

，
∴{a_n}是等比數(shù)列．
（2）b_n+1=f（

1

bn

）=2+b_n，
∴b_n+1-b_n=2，b₁=1，
得b_n=2n-1．
（3）c_n=

1

bn+1bn

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)．
∴

lim

n→∞

Tn=

1

2

．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查已知和與項(xiàng)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)常采用的方法是仿寫作差；考查求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法：關(guān)鍵是看通項(xiàng)的特點(diǎn)：當(dāng)通項(xiàng)為分式形式，且分子是常數(shù)，分母是等差數(shù)列兩項(xiàng)的乘積是采用的方法是裂項(xiàng)求和．