Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上動點，F(xiàn)是AB中點，AC=BC=2，AA₁=4．
（1）求證：CF⊥平面ABB₁；
（2）當E是棱CC₁中點時，求證：CF∥平面AEB₁；
（3）在棱CC₁上是否存在點E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°，若存在，求CE
的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證CF⊥平面ABB₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證CF垂直平面ABB₁內(nèi)兩相交直線垂直，而CF⊥BB₁，CF⊥AB，BB₁∩AB=B，滿足定理條件；
（Ⅱ）取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，欲證CF∥平面AEB₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證CF與平面AEB₁內(nèi)一直線平行即可，而CF∥EG，CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，滿足定理條件．EB₁-B
（III）以C為坐標原點，射線CA，CB，CC₁為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標系C-xyz，設出E點坐標，分別求出平面AEB₁與EB₁B的法向量，根據(jù)二面角A-EB₁-B的大小是45°，代入向量夾角公式，構造方程即可得到答案．
解答：證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F(xiàn)是AB中點，
∴CF⊥AB．
又∵BB₁∩AB=B，
∴CF⊥平面ABB₁．
（Ⅱ）取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G．
∵F、G分別是棱AB、AB₁中點，
∴FG∥BB₁，BB₁．
又∵EC∥BB₁，，
∴FG∥EC，F(xiàn)G=EC．
∴四邊形FGEC是平行四邊形，
∴CF∥EG．
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．（9分）
（3）解：以C為坐標原點，射線CA，CB，CC₁為x，y，z軸正半軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz
則C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4）（10分）
設E（0，0，m），平面AEB₁的法向量=（x，y，z）
則=（-2，2，4），=（-2，0，m）
且⊥，⊥，
于是，即
取z=2，則=（m，m-4，2）（12分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵AC?平面ABC
∴AC⊥BB₁
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
∴AC⊥平面ECBB₁
∴=（2，0，0）是平面EBB₁的法向量，
二面角A-EB₁-B的大小是45°，
則cos45°===（13分）
解得m=
∴在棱CC₁上存在點E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°．
此時CE=   （14分）
點評：本小題主要考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．