已知函數(shù)f（x）=a-
1
2x+1

（Ⅰ）求證：無論a為何實數(shù)，f（x）總為增函數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，求f（x）的值域．
考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）求f′（x），判斷f′（x）的符號從而證出f（x）總是增函數(shù)；
（Ⅱ）由f（x）為奇函數(shù)知，f（-x）=-f（x），所以分別求出f（-x），-f（x）帶入并整理可求得a=
1
2
；f（x）=
1
2
-
1
2x+1
，由2x+1＞1即可求出f（x）的范圍，即f（x）的值域．
解答： 解：（Ⅰ）證明：f′（x）=
2xln2
(2x+1)2
＞0；
所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即a-
1
2-x+1
，解得：a=
1
2
． 
∴f（x）=
1
2
-
1
2x+1
； 
∵2x+1＞1，∴0＜
1
2x+1
＜1；
∴-1＜-
1
2x+1
＜0；
∴-
1
2
＜f（x）＜
1
2
；
所以f（x）的值域為（-
1
2
，
1
2
）．
點評：考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，奇函數(shù)的定義，以及指數(shù)函數(shù)的值域．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題：“若x＞1，則lnx＞0”的否命題為（　�。�
A、若x＞1，則lnx≤0
B、若x≤1，則lnx＞0
C、若x≤1，則lnx≤0
D、若lnx＞1，則x＞0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

i是虛數(shù)單位，
i
-1+i
=（　　）
A、
1
2
+
1
2
i
B、
1
2
-
1
2
i
C、-
1
2
+
1
2
i
D、-
1
2
-
1
2
i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
3
3x-3
的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列算式正確的是（　　）
A、26+22=28
B、26-22=24
C、26×22=28
D、26÷22=23

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=
1
2x-1
的定義域是（　�。�
A、{x|x＞
1
2
}
B、{x|x≠0，x∈R}
C、{x|x＜
1
2
}
D、{x|x≠
1
2
，x∈R}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：?x＜0，x2＞0，那么￢p是（　�。�
A、?x≥0，x2≤0
B、?x≥0，x2≤0
C、?x＜0，x2≤0
D、?x≥0，x2≤0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-x，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)．
（1）設(shè)g（x）=lnx-f′（x）f（x），求g（x）的最大值及相應(yīng)的x的值；
（2）對任意正數(shù)x，恒有f（x）+f（
1
x
）≥（x+
1
x
）•lnm，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ） 求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ） 若過F的直線交橢圓于A，B兩點，且
OA
+
OB
與向量
m
=（4，-
2
）共線（其中O為坐標原點），求
OA
與
OB
的夾角．

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