Question

在數(shù)列中，對(duì)于任意，等式：恒成立，其中常數(shù)．

（1）求的值；

（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）如果關(guān)于的不等式的解集為，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）只需求出即可；（3）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013111023554851924291/SYS201311102357518258278644_DA.files/image005.png">，

所以，，

解得 ，．                3分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，   ①

得，           ②

將①，②兩式相減，得,

化簡(jiǎn)，得，其中．         5分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013111023554851924291/SYS201311102357518258278644_DA.files/image001.png">，

所以，其中．           6分

因?yàn)?為常數(shù)，

所以數(shù)列為等比數(shù)列．            8分

（Ⅲ）　　由（Ⅱ）得，                 9分

所以

，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013111023554851924291/SYS201311102357518258278644_DA.files/image001.png">，所以不等式

可化簡(jiǎn)為，

∵，∴原不等式               11分

由題意知，不等式的解集為，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，

所以只要求 且即可，

解得．                 14分

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列求和；數(shù)列的綜合應(yīng)用；恒成立問(wèn)題；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。

點(diǎn)評(píng)：（1）解此題的關(guān)鍵是通過(guò)證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）解決恒成立問(wèn)題常用的方法是分離參數(shù)法。