Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+1在區(qū)間（-∞，-2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，若b是非負(fù)整數(shù)
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)0＜m≤2，若對(duì)任意的t₁，t₂∈[m-2，m]，不等式|f（t₁）-f（t₂）|≤16m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴f′（-2）=12-4b+c=0，即c=4b-12…（3分）
∵，∴28b-21≤0，∴
∵b是非負(fù)整數(shù)，∴b=0，…（6分）
從而c=12，所以f（x）=x³-12x+1…（8分）
（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）=3（x+2）（x-2），則f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增
∵0＜m≤2，∴-2＜m-2≤0，∴f（x）在[m-2，m]上單調(diào)遞減
∴[f（x）]_max=f（m-2），[f（x）]_min=f（m）…（12分）
依題意[f（x）]_max-[f（x）]_min≤16m，即3m²+2m-8≥0
∴m≤-2或m≥
∵0＜m≤2，∴
∴m的最小值為…（16分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得f′（-2）=0，，結(jié)合b是非負(fù)整數(shù)，可得f（x）的表達(dá)式；
（2）若對(duì)任意的t₁，t₂∈[m-2，m]，不等式|f（t₁）-f（t₂）|≤16m恒成立，等價(jià)于[f（x）]_max-[f（x）]_min≤16m，求出函數(shù)的最值，即可確定m的取值范圍，從而可得m的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．