Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax+1（a是不為零的常數(shù)，且a∈R）．
（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，方程f（x）•g（x）=t在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意可得F（x）=f（x）g（x）=e^x（ax+1）
∴F′（x）=e^x（ax+a+1）
令∴F′（x）=e^x（ax+a+1）=0
∴x=-

a+1

a

∴當(dāng)a＞0時(shí)F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-

a+1

a

，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

a+1

a

）
當(dāng)a＜0時(shí)F（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

a+1

a

）單調(diào)減區(qū)間為（-

a+1

a

，+∞）
（2）由題意可得當(dāng)a=-1時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）=e^x（-x+1）
由（1）可得當(dāng)a=-1時(shí)可以得出F（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)的最大值為F（0）=1
又∵方程f（x）•g（x）=t在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)解
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，1）．