【題目】已知{an}是各項均為正數(shù)的數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,a5﹣3b2=7.2a +(2﹣an+1)an﹣an+1=0(n∈N*
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn=anbn , n∈N* , 求數(shù)列{cn}的前n項和.

【答案】
(1)解:由 得:an+1(an+1)=2an(an+1).

∵因為{an}的各項都為正數(shù),∴

故{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,

因此數(shù)列{an}的通項公式為

設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由a5﹣3b2=7,b1=1得d=2,

∴數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n﹣1,n∈N*


(2)解:由(1)知cn=(2n﹣1)2n1,設(shè){cn}的前n項和為Sn,

則Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n﹣3)×2n2+(2n﹣1)×2n1,

2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n﹣3)×2n1+(2n﹣1)×2n,

上述兩式相減,得

﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣(2n﹣1)×2n

=2n+1﹣3﹣(2n﹣1)×2n

=﹣(2n﹣3)×2n﹣3,

所以Sn=(2n﹣3)2n+3,n∈N*


【解析】(1)利用 得:an+1(an+1)=2an(an+1).根據(jù){an}的各項都為正數(shù),可得 .再利用等比數(shù)列的通項公式可得an . 再利用等差數(shù)列的通項公式可得bn . (2)利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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