已知分別是橢圓
的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)
在橢圓
上,且直線
與直線
的斜率之積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,已知是橢圓
上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn),直線
與
交于點(diǎn)
,直線
與
交于點(diǎn)
.①
求證:
;② 若弦
過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)
,求直線
的方程.
(Ⅰ);(Ⅱ)①見解析;②
.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)點(diǎn)在橢圓
上,且直線
與直線
的斜率之積為
,列出方程組即可求出
和
;(Ⅱ)①欲證:
,只需證:
,找到這個(gè)結(jié)論成立的條件,然后證明這些條件滿足即可;②分成
和直線
斜率存在兩種情況,利用
經(jīng)過(guò)
這一條件,把問(wèn)題變成直線與橢圓的交點(diǎn),從而可以借助一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系解題.
試題解析:(Ⅰ)由題,,由點(diǎn)
在橢圓
上知
,則有:
,①
又,
②
以上兩式可解得,
.所以橢圓
.
4分
(Ⅱ)①
設(shè),則直線
:
、直線
:
,
兩式聯(lián)立消去得:
;
同理:直線:
、
:
,聯(lián)立得:
. 6分
欲證:,只需證:
,只需證:
,
等價(jià)于:,
而,
,所以
,
故有:.
9分
② (1)當(dāng)時(shí),由
可求得:
;
10分
(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)
:
,
由(Ⅱ)知:,
將,
代入上式得:
,
解得,由①知
.
綜合(1) (1),,故直線
:
.
14分.
考點(diǎn):直線與橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年河北省冀州中學(xué)高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(B卷) 題型:解答題
(12分)已知分別是橢圓
的左、右 焦點(diǎn),已知點(diǎn)
滿足
,且
。設(shè)
是上半橢圓上且滿足
的兩點(diǎn)。
(1)求此橢圓的方程;
(2)若,求直線AB的斜率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年安徽省六校教育研究會(huì)高三2月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),橢圓
與拋物線
有一個(gè)公共的焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓
相交于
、
兩點(diǎn),若
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),試判斷直線
與圓
的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年浙江省高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理科)試題 題型:填空題
已知分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),上頂點(diǎn)為M。若在橢圓上存在一點(diǎn)P,分別連結(jié)PF1,PF2交y軸于A,B兩點(diǎn),且滿足
,則實(shí)數(shù)
的取值范圍為
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆山東省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
已知分別是橢圓
的左、右
焦點(diǎn),已知點(diǎn)
滿足
,且
。設(shè)
是上半橢圓上且滿足
的兩點(diǎn)。
(1)求此橢圓的方程;
(2)若,求直線AB的斜率。
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