Question

設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；

（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a的最小值為;（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)f (x)在上為減函數(shù)，得到在上恒成立．轉(zhuǎn)化成時，．

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定其最大值為．

（2）應(yīng)用“轉(zhuǎn)化與化歸思想”，對命題進行一系列的轉(zhuǎn)化，“若存在使成立”等價于“當(dāng)時，有”．

由（1）問題等價于：“當(dāng)時，有”．

討論①當(dāng)時，②當(dāng)<時， ，作出結(jié)論.

（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f (x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立． 1分

所以當(dāng)時，．

又， 2分

故當(dāng)，即時，．

所以于是，故a的最小值為． 4分

（2）命題“若存在使成立”等價于

“當(dāng)時，有”． 5分

由（1），當(dāng)時，，．

問題等價于：“當(dāng)時，有”． 6分

①當(dāng)時，由（1），在上為減函數(shù)，

則=，故． 8分

②當(dāng)<時，由于在上的值域為

（ⅰ），即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；

所以，， 12分

所以，，與矛盾． 13分

綜上，得 14分

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題.