Question

3．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D、E分別為BC、CA的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．若在線段PB上存在一點(diǎn)Q，使得平面ADQ∥平面PEF．
（1）求$\frac{PQ}{QB}$的值；
（2）設(shè)AB=PA=4，求三棱錐Q-PEF的體積；
（3）在第2問的前提下，若平面QEF與線段PA交于點(diǎn)M，求AM．（注：本小問文科生不做，理科生做）

Answer 1

分析 （1）由平面ADQ∥平面PEF，結(jié)合面面平行的性質(zhì)得DQ∥PF，AQ∥EF，再由平行線截線段成比例得$\frac{PQ}{QB}$的值；
（2）直接利用等積法求得三棱錐Q-PEF的體積；
（3）連PD、QF交于點(diǎn)O，過O在平面PAD內(nèi)作AD的平行線OM交PA于點(diǎn)M，則M點(diǎn)為所求點(diǎn)，再由平行線截線段成比例得AM．

解答 解（1）由平面ADQ∥平面PEF，得DQ∥PF，AQ∥EF，
∴$\frac{PQ}{QB}=\frac{DF}{BD}=\frac{1}{2}$；
（2）V_Q-PEF=V_D-PEF=$\frac{1}{3}{V}_{B-PEF}=\frac{1}{3}{V}_{P-BEF}$=$\frac{1}{3}•（\frac{3}{4}•\frac{1}{2}•2•2\sqrt{3}）•4$=$2\sqrt{3}$；
（3）連PD、QF交于點(diǎn)O，過O在平面PAD內(nèi)作AD的平行線OM交PA于點(diǎn)M，則M點(diǎn)為所求點(diǎn)，
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{PO}{OD}=\frac{PF}{QD}=\frac{BF}{BD}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AM}{AP}=\frac{2}{5}$，則$AM=\frac{2}{5}AP=\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．