Question

已知向量

a

，

b

滿足

a

=（2sinx，

3

（cosx+sinx）），

b

=（cosx，cosx-sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

（x∈R）．
（1）將f（x）化成Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的形式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（3）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)數(shù)量積求出f（x）式子，運用三角變換化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈z可得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
（3）整體求出

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，-

3≤

2sin（2x+

π

3

）≤2，可得值域

解答： 解：（1）∵向量

a

，

b

滿足

a

=（2sinx，

3

（cosx+sinx）），

b

=（cosx，cosx-sinx），
函數(shù)f（x）=

a

•

b

（x∈R）．
∴f（x）=2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
（2）f（x）=2sin（2x+

π

3

），
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈z
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z
（3）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
即-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
-

3≤

2sin（2x+

π

3

）≤2，
可得：當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，f（x）的值域為[-

3

，2]．

點評：本題綜合考察了向量在三角函數(shù)中的運用，求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域問題，綜合性大一點，但是難度不大，屬于中檔題．