如圖所示,平面直角坐標系中,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),A、B是其左、右頂點,動點M滿足MB⊥AB,連接AM交橢圓于點P,若MO⊥PB,則橢圓的離心率為
2
2
2
2
分析:可設(shè)出直線AM的方程,與直線MB的方程聯(lián)立可求得M點的坐標,從而可得OM的斜率,繼而有直線BP的方程,與直線AM的方程聯(lián)立可求得P點的坐標,代入橢圓方程,整理即可求得橢圓的離心率.
解答:解:依題意,A(-a,0),設(shè)直線AM的方程為:y=k(x+a),①與直線MB的方程聯(lián)立得M(a,2ka),
∴OM的斜率kOM=2k,
∵MO⊥PB,
∴kBP=-
1
2k
,又B(a,0),
∴直線BP的方程為:y=-
1
2k
(x-a),②
∴由①②聯(lián)立
y=k(x+a)
y=-
1
2k
(x-a)
得P點的坐標為:P(
a(1-2k2)
2k2+1
,
2ak
2k2+1
),
∵點P在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
(
a(1-2k2)
2k2+1
)
2
a2
+
(
2ak
2k2+1
)
2
b2
=1,
∴4a2k2=8b2k2,k≠0,
∴a2=2b2=2(a2-c2),
∴a2=2c2,
∴e=
c
a
=
2
2

故答案為:
2
2
點評:本題考查直線的方程,考查直線的垂直,考查橢圓的方程與橢圓的性質(zhì)的綜合應用,求得P點的坐標是關(guān)鍵,也是難點,考查抽象思維與推理運算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐?標系中,已知矩形ABCD的長為2,寬為1,AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,A點與坐標原點重合(如圖所示).將矩形折疊,使A點落在線段DC上.

若折痕所在直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程;

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