Question

（2012•荊州模擬）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=21，a₅=9，滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)s_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|，求S_n
（3）若bn=

1

n(27-an)

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在最大的整數(shù)p，使得對任意（n∈N*）均有Tn＞

p

36

成立？若存在，求出p，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由an+2-2an+1+an=0，(n∈N*)，知{a_n}是等差數(shù)列．由a₁=21，a₅=9得：d=

a5-a1

5-1

=-3，由此能求出a_n．
（2）當(dāng)n≤8時(shí)，a_n≥0．n≥9時(shí)，a_n＜0．當(dāng)n≤8時(shí)，Sn=a1+a2+…+an=

n(21+24-3n)

2

=-

3n2

2

+

45n

2

，當(dāng)n≥9時(shí)，Sn=a1+a2+…+a8-a9-…-an=-Sn+2S8=

3n2

2

-

45n

2

+168，由此能求出S_n．
（3）由bn=

1

n(27-an)

=

1

n(3n+3)

=

1

3

•

1

n(n+1)

=

1

3

•(

1

n

-

1

n+1

)，知Tn=b1+b2+…+bn=

1

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

3

•(1-

1

n+1

)，由此能求出存在最大的整數(shù)p=5，使得對任意n∈N^*，均有Tn＞

p

36

成立．

解答：解：（1）由an+2-2an+1+an=0，(n∈N*)，
知{a_n}是等差數(shù)列．
由a₁=21，a₅=9得：d=

a5-a1

5-1

=-3，
∴a_n=24-3n．
（2）當(dāng)n≤8時(shí)，a_n≥0．n≥9時(shí)，a_n＜0．
當(dāng)n≤8時(shí)，Sn=a1+a2+…+an=

n(21+24-3n)

2

=-

3n2

2

+

45n

2

當(dāng)n≥9時(shí)，Sn=a1+a2+…+a8-a9-…-an=-Sn+2S8=

3n2

2

-

45n

2

+168，
∴Sn=

- 3n2 2 + 45n 2 (n≤8) 3n2 2 - 45n 2 +168(n≥9)

（3）bn=

1

n(27-an)

=

1

n(3n+3)

=

1

3

•

1

n(n+1)

=

1

3

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

3

•(1-

1

n+1

)
由對任意n∈N^*，均有Tn＞

p

36

成立知，

p

36

＜(Tn)min，
又當(dāng)n=1時(shí)，(Tn)min=

1

6

，
∴p＜6，故存在最大的整數(shù)p=5，使得對任意n∈N^*，均有Tn＞

p

36

成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，探索最大整數(shù)是否存在．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．