Question

已知數列{a_n}是由正數組成的等差數列，S_n是其前n項的和，并且a₃=5，a₄S₂=28．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)•

1

2n+1

≥

2

3

3

對一切n∈N均成立．

Answer 1

分析：（1）設出等差數列的等差為d，根據等差數列的性質，利用a₃=5，a₄•S₂=28求出d及表示出數列{a_n}的通項公式；
（2）只需證明(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥

2

3

3

2n+1

成立，下面利用數學歸納法證明．當n=1時，代入不等式左右端，驗算可得證．再證明從k到k+1時，利用分析法思想向要證明的代數式轉化即可證明n=k+1時也成立，從而結論得證．

解答：解：（I）設數列{a_n}的公差為d，由已知得

a1+2d=5 (2a1+d)(a1+3d)=28

…（2分）
∴（5+d）（10-3d）=28，
∴3d²+5d-22=0，
解之得d=2或d=-

11

3

．
∵數列{a_n}各項均正，∴d=2，∴a₁=1．
∴a_n=2n-1．…（5分）
證明：（Ⅱ）∵n∈N，
∴只需證明(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥

2

3

3

2n+1

成立．…（7分）
（i）當n=1時，左=2，右=2，∴不等式成立．…（8分）
（ii）假設當n=k時不等式成立，即(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak

)≥

2

3

3

2k+1

．
那么當n=k+1時，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak

)(1+

1

ak+1

)≥

2

3

3

2k+1

(1+

1

ak+1

)=

2

3

3

2k+2

2k+1

…（10分）
以下只需證明

2

3

3

2k+2

2k+1

≥

2

3

3

•

2k+3

．
即只需證明2k+2≥

2k+1

2k+3

．…（11分）
∵(2k+2)2-(

2k+1

•

2k+3

)2=1＞0．
∴(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak+1

)≥

2

3

3

2k+3

=

2

3

3

2(k+1)+1

．
綜合（i）（ii）知，不等式對于n∈N都成立．…（12分）

點評：本題考查了等差數列的通項公式、數學歸納法以及數列與不等式的綜合，綜合性強，難度較大．對于涉及正整數的不等式證明問題通常通過數學歸納法來解決．